martes, 12 de febrero de 2013

MÉTODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES


Matemáticamente se conoce a un sistema de ecuaciones, como un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas, las cuales conforman o representan un problema matemático, y cuyo fin consisten en encontrar las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.

En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones, una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que sustituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

Existen diferentes métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales dentro de los cuales se destacan: Método de reducción, método de sustitución y método de igualación. A continuación se explica el procedimiento a seguir para desarrollar cada método.



METODO DE REDUCCIÓN

Procedimiento a seguir:

1.- Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convengan con su respectivo signo, ya sea positivo o negativo.
2.- Sumamos algebraicamente y desaparece una de las incógnitas.
3.- Se resuelve la ecuación resultante, despejando la incógnita existente.
4.- El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iníciales y se resuelve a fin de determinar la incógnita faltante.
5.- Los valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

A continuación se resuelve un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas para desglosar la aplicación de cada uno de los pasos descritos:

1.- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de REDUCCIÓN.

3x – 4y = -6
2x + 4y = 16


Solución:

Lo más sencillo es suprimir la variable y, ya que en la primera ecuación existe la misma cantidad que en la segunda ecuación y con signos contrarios para efectuar directamente el paso 2 el cual corresponde a la suma algebraica, y de este modo se obviaría el paso 1 que sería la preparación de las ecuaciones. Pero en este caso optaremos por suprimir la x para efectuar todo el procedimiento a seguir.

Paso Nº 01: Preparamos las dos ecuaciones, por lo general lo más idóneo es multiplicar la ecuación 1 por el coeficiente numérico que acompaña a la variable de la ecuación 2, y multiplicar la ecuación 2 por el coeficiente numérico que acompaña a la variable de la ecuación 1 con el signo necesario para lograr la anulación de la variable que se quiere. Para el caso de este ejercicio en particular podemos multiplicar la ecuación 1 por 2 que es el coeficiente que acompaña a la x en la ecuación 2, y multiplicamos la ecuación 2 por 3 que es el coeficiente que acompaña a la x en la ecuación 1, y como en las dos ecuaciones la variable tiene el mismo signo (positivo) multiplicamos una de las dos ecuaciones por signo negativo (-) a fin de lograr la anulación de la variable.


Paso Nº 02: Efectuamos la suma algebraica de ambas ecuaciones.


Paso Nº 03: Se resuelve la ecuación resultante y se despeja la incógnita.


Paso Nº 04: El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales.
3x – 4y = –6, sustituyendo y = 3 nos queda;
3x – 4(3) = –6 → 3x = –6 + 12 → x = 2.

Nota: Los valores obtenidos se sustituyen en las ecuaciones iniciales dadas en el ejercicio, más no en las alteradas para desarrollar el método de reducción.

Paso Nº 05: Los valores que constituyen la solución del sistema son: x=2 y=3.

Una manera de comprobar que los valores obtenidos como solución al aplicar el método es sustituyendo los mismos en la ecuación y el resultado debe ser cero.

3x – 4y = –6, sustituyendo las soluciones del sistema queda:

3(2) – 4(3) = –6       →       6 – 12 = –6        →       –6 = –6 ok

  
Adicionalmente te dejo este video en donde se explica paso a paso, como resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales aplicando el MÉTODO DE REDUCCIÓN, el cual te puede servir de mucha ayuda.

  video

METODO DE SUSTITUCIÓN

Procedimiento a seguir:

1.- Se despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones.
2.- Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita (esto en el caso de ser un sistema de ecuaciones con dos incógnitas), si el sistema posee mas de dos incógnitas se va despejando una incógnita diferente por ecuación y luego se va sustituyendo sucesivamente a fin de que la ecuación final posea una sola incógnita.
3.- Se resuelve la ecuación resultante, despejando la incógnita existente.
4.- El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparece la incógnita despejada.
5.- Los valores obtenidos constituyen la solución del sistema.


A continuación se resuelve un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas para desglosar la aplicación de cada uno de los pasos descritos:

1.- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de SUSTITUCIÓN.

3x – 4y = -6
2x + 4y = 16

Solución:

Paso Nº 01: Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones que conforman el sistema, por lo general tiende a despejarse la incógnita que tenga coeficiente numérico mas bajo, mas sin embargo es una opinión y este criterio no es limitativo.
En nuestro caso se decidió despejar de la segunda ecuación (2x + 4y = 16) la variable x, quedando de la siguiente manera:



Paso Nº 02: Sustituimos en la otra ecuación que conforma el sistema, la variable x por el valor obtenido del paso Nº 01 (x = 8 – 2y).

3x – 4y = –6   →  3(8 – 2y) – 4y = –6   →   24 – 6y – 4y = –6   →   24 – 10y = –6


Paso Nº 03: Resolvemos la ecuación obtenida a fin de despejar la incógnita.


Paso Nº 04: Sustituimos el valor obtenido (Paso Nº 03) en la variable despejada (Paso Nº 01).

x = 8 – 2y; con y = 3 implica que: x = 8 – 2(3) → x = 8 – 6 → x = 2

Paso Nº 05: Los valores que constituyen la solución del sistema son: x=2   y=3.

Comprobando los resultados en una de las ecuaciones que conforman el sistema nos queda;
3x – 4y = –6      →     3(2) – 4 (3) = –6      →     6 – 12 = – 6       →      – 6 = – 6 ok.


Adicionalmente te dejo este video en donde se explica paso a paso, como resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales aplicando el MÉTODO DE SUSTITUCIÓN, el cual te puede servir de mucha ayuda.

  video


METODO DE IGUALACIÓN

Procedimiento a seguir:

1.- Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones (en caso de ser un sistema con dos ecuaciones).
2.- Se igualan las expresiones, con lo que se obtiene una ecuación con una incógnita.
3.- Se resuelve la ecuación a fin de conocer la incógnita.
4.- El valor obtenido se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones que conforman el sistema, en las que aparecía despejada la otra incógnita.
5.- Los valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

A continuación se resuelve un sistema de ecuaciones lineales de dos incógnitas para desglosar la aplicación de cada uno de los pasos descritos:

1.- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones aplicando el método de IGUALACIÓN.

3x – 4y = -6
2x + 4y = 16

Solución:
Paso Nº 01: Despejamos la misma incógnita en ambas ecuaciones, en este caso despejaremos la variable x.



Paso Nº 02: Se igualan ambas expresiones despejadas (obtenidas en el paso Nº 01).


Paso Nº 03: Se resuelve la ecuación a fin de obtener la incógnita.


Paso Nº 04: El valor obtenido se sustituye en cual quiera de las ecuaciones despejadas en el paso Nº 01 a fin de conocer la incógnita restante.


Paso Nº 05: Los valores que constituyen la solución del sistema son: x=2 y=3.

Comprobando los resultados en una de las ecuaciones que conforman el sistema nos queda;

3x – 4y = –6     →     3(2) – 4 (3) = –6     →     6 – 12 = – 6      →      – 6 = – 6 ok.


Adicionalmente te dejo este video en donde se explica paso a paso, como resolver un Sistema de Ecuaciones Lineales aplicando el MÉTODO DE IGUALACIÓN, el cual te puede servir de mucha ayuda.


video
 



“La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamiento, todas sencillas y fáciles, solo debes dedicarle un poco de tiempo”
René Descartes

3 comentarios:

  1. esta muy bien explicada las soluciones de ecuaciones lineales.Felicidades...

    ResponderEliminar
  2. Dejen ver xk tengo mucho k no estudio y en realidad se me dificulta un poco con esto de las ecuaciones pero le voy a hecha muchas ganas pa ver sí puedo y así yegar a superarme

    ResponderEliminar
  3. me parece exelente tu investigacion sobre las ecuaciones, entendi todo muy bien y logre hacer mi trabajo correctamente . Felicidades

    ResponderEliminar